到目前為止，積分一直是我們用來測量單一曲線與靜態的x軸之間空間的工具。但如果地面本身也在移動呢？在本課中，我們將超越坐標軸，學習如何計算兩條獨立函數邊界 $f(x)$ 與 $g(x)$ 之間所包圍區域的面積。
差異的幾何意義
要找出由 $y = f(x)$ 與 $y = g(x)$ 在 $x = a$ 至 $x = b$ 之間所圍成的區域 $S$ 的面積 $A$，我們將運用與微積分基礎相同的黎曼和邏輯。
黎曼和的延伸
我們將該區域分割為 $n$ 個垂直條帶。若 $x_i^*$ 是第 $i$ 個區間中的樣本點，則近似矩形的高度不僅是 $f(x_i^*)$，而是 差值 上下兩條曲線高度之間的差值：
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
從求和到積分
當我們將條帶數量增加至無限多（$n \to \infty$）時，這些矩形面積之和會收斂至定積分：
核心公式:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
其中 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$。
絕對差值法則
如果兩條曲線相交呢？若我們僅對 $f-g$ 進行積分，而實際上 $g$ 高於 $f$，結果將為負數。為確保我們總是計算出面積的 大小 ，我們需使用絕對值：
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 面積公式定理
若 $f$ 與 $g$ 為連續函數，且對所有 $x \in [a, b]$ 滿足 $f(x) \ge g(x)$，則由 $y = f(x)$、$y = g(x)$、$x = a$ 與 $x = b$ 所圍成的區域面積 $A$ 為：
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
範例 1：指數函數與線性函數的比較
求由 $y = e^x$（上方）、$y = x$（下方）在 $x = 0$ 至 $x = 1$ 之間所圍成的面積。
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$